민코프스키 세계선으로 이해하는 헛간의 역설

목차

• 헛간의 역설
• 민코프스키 세계선
• 역설 해결
• 출처

헛간의 역설

2024학년도 수능특강 헛간의 역설 문제

헛간의 역설은 우리가 생각하는 동시성의 개념을 재고하게 만들어주는 특수상대성 이론의 매우 유명한 역설이다.

쌍둥이 역설과 더불어 상대성 이론에 대한 지식을 늘리기에 좋은 역설 중 하나다. 그 내용을 알아보자.

위와 같은 상황에서 헛간이 정지해 있다고 보는 현빈이는 막대를 길이 수축을 이용해 헛간에 넣고 싶어 한다.

따라서 대략 0.86602540378*c의 속도로 운동하면 현빈이의 관성계에선 길이수축이 충분히 일어나 헛간 안에 막대를 잠깐 넣을 수 있다.

하지만 막대를 옮기는 성민이의 관성계에선 오히려 헛간에 길이수축이 일어나 헛간의 폭이 2.5m가 된다.

이 역설을 어떻게 풀 수 있을까?

민코프스키 세계선

민코프스키 세계선을 이해하면 쉽게 특수상대성 이론을 이해하고, 역설을 해결할 수 있다.

로렌츠 인자에 대한 설명은 고교 물리1을 심화 학습 한다면 충분히 이해할 수 있으므로 생략한다.

아무튼, 상대성 이론에선 빛의 속력보다 더 큰 속력을 가질 수 없다. 라는 명제로 두 좌표 S(x, ct), S1(x1, ct1)에 다음과 같은 관계가 있음을 밝힌다. 물론 원래는 4차원 시공간이지만, 이해하기 쉽게 2차원 시공간으로 가정했다.

x1 = 𝛾(x−vt)
ct1 = 𝛾(ct−𝛽x) (𝛽 = v/c)

이를 하나의 수식으로 나타내면 다음과 같다.

그리고 이를 x-ct그래프로 나타내면

이렇게 비틀어진 시공간이 나타난다. (R2 to R2 행렬)

원래는 이렇게 나타내는 유래, 장, 단점 등을 알려주는 포스팅이 많으나, 그런 포스팅들은 이해가 쉽지 않다. 이 포스팅에선 민코프스키 세계선의 구성 과정을 필자 기준으로 가장 쉽게 이해한 방식으로 작성했다.

역설 해결

위의 역설을 민코프스키 세계선으로 나타내면 다음과 같다.

성민이의 관성계가 조금 어려우니 설명하자면, ct1 =0을 막대의 끝이 앞문을 통과하는 순간이라 두자.

이때, 헛간의 이동 궤적은 빨간색 영역과 같고, 막대는 가만히 있으므로 막대의 양끝점은 시간축에 평행하게 그려진다.

그런데 이번에는 보면 사건 Q가 먼저 일어나고, 즉 뒷문이 닫힌 뒤 열리고 헛간이 계속 다가온 후, 사건 P가 일어나 앞문이 닫히게 된다.

잘 보면 사건 P가 일어났을 때 막대는 이미 헛간에 다 들어온 상태다. 이후 앞문이 열리고, 뒷문은 이미 열린 상태이므로 헛간은 완전히 막대를 통과한다.

다시 풀어서 말하면 막대가 앞문을 통과한 후 먼저 뒷문이 닫힌다.

이후 뒷문이 열리고, 막대는 뒷문을 통과한 후 나중에 앞문이 닫히나 이미 막대는 앞문을 모두 통과한 상태이므로 그대로 통과한다는 것이다.

따라서 좌표계에 따라서 동시성이 파괴되는 것이다.

이를 한 시공간(민코프스키 시공간)으로 나타내면 다음과 같다.

처음에 나온 수능특강 문제는 스스로 풀어보길 참고로 정답은 3번이다.

출처

https://namu.wiki/w/막대와-헛간-역설

이상.